فرمول حجم اشکال هندسی

منظور از حجم اشکال هندسی چیست؟

حجم اشکال هندسی به معنای محتوای فضایی یا حجمیه که توسط یک شکل هندسی در فضا اشغال میشه. برای مثال؛ حجم یک کره، یک مخروط، یک مکعب یا هر شکل هندسی دیگه‌ای که در سه بعد وجود داره رو می‌تونیم به عنوان حجم اشکال هندسی اون شکل تعریف کنیم. در این مقاله با هم فرمول حجم اشکال هندسی رو بررسی می‌کنیم.

این مفهوم در ریاضیات و فیزیک کاربردهای گسترده‌ای داره و در محاسبات مهندسی، ساختمان‌سازی، طراحی صنعتی و بسیاری از حوزه‌های دیگه استفاده میشه.

اشکال هندسی و فرمول حجم آن‌ها

فرمول حجم اشکال هندسی، رابطه‌ایه که برای محاسبه فضای اشغال شده توسط یک شکل سه بعدی در فضا به کار میره. برای مثال، فرمول حجم اشکال هندسی به صورت زیره:

1. حجم کره = چهار سوم × 3.14 × شعاع به توان سه

2. حجم مکعب مستطیل = طول × عرض × ارتفاع

3. حجم مکعب مربع = قاعده × ارتفاع ( طول یال × مساحت یک وجه)

4. حجم هرم = مساحت قاعده ی هرم × ارتفاع هرم × یک سوم

5. مخروط = مساحت قاعده × یک سوم × ارتفاع

حجم اشکال هندسی بیانگر چیست؟

حجم یک شکل هندسی به مقدار فضایی اشغال شده توسط اون شکل گفته میشه. برای محاسبه حجم یک شکل هندسی، باید با استفاده از فرمول مناسب اون شکل، مقدار حجم رو محاسبه کنیم. همونطور که قبلاً هم گفتم، هر شکل هندسی فرمول مخصوص به خودش رو داره که با استفاده از اون می‌تونیم حجم اون شکل رو محاسبه کنیم.

به عنوان مثال، برای محاسبه حجم یک کره، از فرمول V = ⁴/₃ × پی × شعاع³ استفاده میشه. به طور کلی، فرمول‌های حجم اشکال هندسی بر اساس ویژگی‌های شکل مانند طول، عرض، ارتفاع، شعاع و… تعریف میشن. در مواردی نیز که شکل هندسی نامنظمی داره، می‌تونیم با تقریب و در نتیجه خطای کم، از یک فرمول تقریبی برای محاسبه حجم استفاده کنیم.

برای یادگیری حجم شکل‌های هندسی می‌تونین از راه‌های مختلفی مثل فلش کارت، خلاصه‌نویسی و … که از بهترین روش‌های درس خوندن هستن، استفاده کنین.

انواع اشکال هندسی و جزئیاتی درباره آن‌ها

مربع

مربع یک شکل هندسی دو بعدیست که چهار ضلع متساوی و چهار زاویه داخلی 90 درجه داره. در واقع، مربع یک نوع خاص از مستطیله که تمام زوایای آن 90 درجه هستن و تمام ضلع‌های اون با هم برابرن. به عنوان مثال، اگه طول یک ضلع مربع را با a نشان بدیم، داریم:

• محیط (یا مجموع اضلاع): 4a

• مساحت: a^2

• قطر: a × √2

مربع به دلیل داشتن ریشه های ریاضی ساده و در عین حال شکلی منظم، در بسیاری از زمینه های ریاضی، هندسه و فیزیک مورد استفاده قرار می‌گیره. همچنین در زمینه هایی مانند معماری و طراحی صنعتی، از مربع به عنوان یک الگوی پایه استفاده میشه.

مستطیل

مستطیل یک شکل هندسی دو بعدیه که دارای دو زاویه قائمه (90 درجه) و چهار ضلع متوازیه؛ به عبارت دیگه، مستطیل شامل دو طرف متوازی و دو طرف دیگه هم متوازی با همان دو طرف متوازی هستن.

مثلث متساوی الاضلاع

مثلث متساوی الاضلاع، شکل ریاضی سه‌بعدیه که هر سه ضلع اون به همدیگه برابر و هر سه زاویه اون نیز برابر با ۶۰ درجه‌ست. این شکل ریاضی دارای سه خط تقارن متقاطع در مرکز و شش خط تقارن دیگه‌ست. هر مثلث متساوی الاضلاع، دارای سه ضلع، سه نقطه تقاطع (رئوس) و سه زاویه ۶۰ درجه‌ست.

مثلث متساوی الساقین

مثلث متساوی الساقین، شکل هندسی سه‌بعدیه که دارای دو ضلع برابر در بخش عرضی اونه. به عبارت دیگه، دو ضلع از رئوس یکسان با ارتفاع یا خط وسط اون‌ها برابر هستن. این شکل هندسی دارای دو خط تقارن متقاطع در مرکز و یک خط تقارن دیگه‌ست که از وسط به نقاط میانی دو ضلع متفاوت می‌گذره.

مثلث متساوی الساقین دارای دو زاویه برابر و یک زاویه کوچکتره که در بخش عرضی قرار داره. همچنین، جمع دو زاویه برابر اون با زاویه کوچکتر، برابر با ۱۸۰ درجه‌ست. باید یادآوری کنیم که همه اشکال، حجم ندارن و اشکالی که فضای داخلی دارن مثل هرم و استوانه و سایر اشکالی که توی این مقاله نام بردیم دارای حجم هستن. پس چیزی به نام حجم مثلث هم وجود نداره.

ذوزنقه

ذوزنقه یک شکل ریاضی سه‌بعدیه که دارای دو صفحه متقابل به شکل مثلثه که از طرفین به صورت سرریز یا فرو رفته شده، به هم پیوستن. این شکل ریاضی در حالت کلی شامل پنج وجهه که دو مثلث در قسمت بالایی و پایینی و سه مستطیل در قسمت‌های وسطی اون قرار دارن.

لوزی

شکل هندسی لوزی یک چهارضلعیه که دارای دو زاویه‌ بر خلاف هم و دو زاویه دیگه مساوی با همدیگه هستن؛ این شکل در واقع به صورت یک مستطیل با ضلع‌های منحنی در دو طرف تبدیل شده. اگه طول و عرض این مستطیل برابر باشه، شکل حاصل یک لوزی خالصه.

متوازی الاضلاع

متوازی الاضلاع، شکل ریاضی سه‌بعدیه که دارای دو ضلع موازی و برابر در بخش عرضی اونه. به عبارت دیگه، این شکل ریاضی دارای دو ضلع مساوی و دو زاویه متحاطی با این ضلع‌ها نیز برابره. در متوازی الاضلاع، دو زاویه مجاور به هم، برابر هستن و دو زاویه مقابل نیز برابر هستن.

متوازی الاضلاع دارای دو خط تقارن متقاطع در مرکز و دو خط تقارن دیگه‌ست که از وسط به نقاط میانی دو ضلع متفاوت می‌گذره. این شکل ریاضی در بسیاری از مباحث هندسی به خصوص در محاسبات مساحت و حجم شکل‌های هندسی مختلف مورد استفاده قرار می‌گیره.

دایره

دایره به شکل هندسی ای گفته میشه که تمام نقاط اون در فاصله‌ ثابتی از یک نقطه‌ مرکزی واقع شده باشه. این فاصله، شعاع دایره نامیده میشه و با رمزنگاری ریاضی با حرف R نمایش داده میشه. دایره دارای ویژگی‌های مختلفیه، از جمله:

• قطر: خطیه که از یک نقطه‌ روی دایره به نقطه‌ای مقابل برابر با طول دو شعاع دایره‌ست.

• محیط دایره: مجموعه‌ای از نقاطیه که روی دایره قرار دارن. محیط دایره با رمزنگاری ریاضی 2πR نامیده میشه.

• مساحت دایره: مفهومیه که فضای بسته‌شده توسط دایره رو پوشش می‌ده و با رمزنگاری ریاضی πR^2 نمایش داده میشه.

دایره در بسیاری از موارد هندسی و ریاضی، از جمله پردازش تصویر، هندسه‌ فضایی، حساب دیفرانسیل و انتگرال، استفاده میشه. خیلی‌ها ممکنه بپرسن پس حجم دایره چیه؟ چیزی به اسم حجم دایره وجود نداره و در واقع اون کره‌ست که دارای حجمه نه دایره.

کره

کره یا سفره‌ای کره‌ای به شکل هندسی سه بعدیه که تمام نقاط اون در فاصله‌ ثابتی از مرکز واقع شدن؛ در واقع کره، یک دایره‌ با شعاع R است که حول محور دایره، چرخش کرده و فضای بسته‌ای رو پوشش میده. کره دارای ویژگی‌های مختلفیه، از جمله:

• قطر: خطیه که از نقطه‌‌ای در یک سر کره به سر دیگه اون می‌رسد و برابر با دو شعاع کره‌ست.

• مساحت سطح کره: فضاییه که توسط سطح کره پوشیده میشه و با فرمول ۴πR^2 محاسبه میشه.

• حجم کره: به فضایی داخلی این شکل هندسی می‌گوین که با فرمول (4/3)πR^3 محاسبه میشه.

کره در بسیاری از رشته‌های علمی و فنی، از جمله ریاضیات، فیزیک، شیمی، زمین‌شناسی، نجوم، مهندسی و… استفاده میشه.

بیضی

یک شکل هندسی دو بعدیه که از یک خم به این شکل به دست میاد. بیضی دارای دو محور اصلی و قطرهای برابر نیست و یکی از طرف‌های اون بیشتر از سمت دیگه‌ست. دو پارامتر مهم در این شکل، بزرگ‌نمایی (a) و تخمین (b) است. بزرگ‌نمایی، فاصله بین مرکز بیضی تا نقطه‌ بیشترین فاصله با سطح اونه و تخمین، فاصله بین مرکز بیضی تا نقطه‌ کمترین فاصله با سطح این شکل هندسیه.

یکی از خصوصیات مهم اون، اینه که محیط بیضی به عنوان خم بیضی، قابل بیان با فرمول ریاضی نیست؛ ولی، مساحت بیضی با فرمول πab محاسبه میشه. این شکل هندسی در زندگی روزمره و همچنین در ریاضیات، فیزیک، شیمی، و بسیاری از رشته‌های علمی دیگه مورد استفاده قرار می‌گیره.

چند ضلعی منتظم

چند ضلعی منتظم، شکل هندسی دو بعدیه که تمامی اضلاع و زوایایش با هم برابرن. یعنی در چند ضلعی منتظم، همه‌ اضلاع یکسان و همه‌ زوایا نیز به یک مقدار ثابت برابر هستن؛ به عنوان مثال، مربع، مثلث متساوی الساقین، پنج ضلعی منتظم، شش ضلعی منتظم و … همگی از نوع چند ضلعی منتظم هستن.

یکی از خصوصیات مهم چند ضلعی‌های منتظم، اینه که جمع زوایا درونی هر چند ضلعی منتظم برابر با (n-2) × 180 درجه‌ست که n تعداد ضلع‌های شکله. به عنوان مثال، جمع زوایا درونی یک مثلث متساوی الساقین برابر با 180 درجه‌ست و جمع زوایا درونی یک مربع برابر با 360 درجه‌ست.

چند ضلعی‌های منتظم در بسیاری از رشته‌های علمی و فنی، از جمله هندسه، معماری، ماشین‌سازی، الکترونیک، کامپیوتر و… استفاده می‌شن.

استوانه

استوانه شکل هندسی یک سه بعدیه که دارای دو صفحه موازی به هم و یک قابلمه (پوشیدگی) دور اون‌هاست. این شکل هندسی در واقع از ترکیب یک دایره با شعاع R و یک مستطیل با ارتفاع H تشکیل میشه. صفحه‌ بالای استوانه، یک دایره با شعاع R است و صفحه پایین اون نیز یک دایره‌ با شعاع R دیگه‌ست. ارتفاع استوانه نیز برابر با H است.

یکی از خصوصیات مهم استوانه، اینه که حجم اون با فرمول πR^2H و مساحت سطح اون با فرمول 2πR(R+H) محاسبه میشه. استوانه در خیلی از رشته‌های علمی و فنی، از جمله ریاضیات، فیزیک، شیمی، محیط زیست و … مورد استفاده قرار می‌گیره. به عنوان مثال، استوانه‌هایی که در اطراف لوله‌های گاز، برای حفظ دمای مناسب و استحکام ساختمانی اون‌ها استفاده میشن.

منشور

منشور یک شکل هندسی سه بعدیه که دارای دو پایه متقابل و صفحات جانبی دوگانه و موازی با پایه‌هاست؛ این شکل هندسی با توجه به شکل پایه‌ها، به منشور مستطیلی، منشور مثلثی، منشور شش ضلعی و… تقسیم بندی می‌شن. در منشور مستطیلی، پایه‌ها یک مستطیل هستن و صفحات جانبی رو ارتفاع منشور تشکیل میدن.

در نوع مثلثی منشور، پایه‌ها یک مثلث هستن و صفحات جانبی رو ارتفاع منشور تشکیل میدن؛ اما، در منشور شش ضلعی، پایه‌ها دو شش ضلعی متقابل هستن و صفحات جانبی رو ارتفاع منشور تشکیل میدن. منشورها در بسیاری از مسائل هندسی و فضایی مورد استفاده قرار می‌گیرن.

فرمول محیط و مساحت اشکال هندسی

• مساحت مربع = یک ضلع × خودش
• محیط مربع = یک ضلع × 4
• مساحت مستطیل = طول × عرض
• محیط مستطیل = ( طول + عرض) × 2
• مساحت مثلث = ( قاعده × ارتفاع ) ÷ 2
• محیط مثلث = مجموع سه ضلع
• مساحت مثلث متساوی الاضلاع = ( قاعده × ارتفاع ) ÷ 2
• محیط مثلث متساوی الاضلاع = یک ضلع × 3
• مساحت مثلث متساوی الساقین = ( قاعده × ارتفاع ) ÷ 2
• محیط مثلث متساوی الساقین = مجموع سه ضلع
• مساحت مثلث قائم الزاویه = ( قاعده × ارتفاع ) ÷ 2
• محیط مثلث قائم الزاویه = مجموع سه ضلع
• مساحت ذوزنقه = ( قاعده بزرگ + قاعده کوچک ) × ارتفاع ÷ 2
• محیط ذوزنقه = مجموع چهار ضلع
• مساحت لوزی = ( قطر بزرگ × قطر کوچک ) ÷ 2
• محیط لوزی = یک ضلع × 4

• مساحت متوازی الاضلاع = قاعده × ارتفاع
• محیط متوازی الاضلاع = مجموع دو ضلع متوالی × 2
• مساحت دایره = عدد پی ( 3/14 ) × شعاع × شعاع
• محیط دایره = عدد پی ( 3/14 ) × قطر
• مساحت کره = 4 × 3/14 × شعاع به توان دو
• مساحت بیضی = (نصف قطر بزرگ × نصف قطر کوچک ) × 3/14
• محیط چند ضلعی منتظم = یک ضلع × تعداد اضلاعش
• مساحت جانبی استوانه = محیط قاعده × ارتفاع حجم استوانه = مساحت قاعده × ارتفاع

• سطح کل استوانه = سطح دو قاعده + مساحت جانبی ( مساحت مجموع دو قاعده + ارتفاع × پیرامون قاعده )
• مساحت جانبی منشور = مجموع مساحت سطوح جانبی
• مساحت کلی منشور = مجموع مساحت دو قاعده + مجموع مساحت سطوح جانبی

تعریف شکل (shape)

شکل (Shape)، به شکلی که یک جسم در اون وجود داره اطلاق میشه؛ به عبارت دیگه، شکل شامل تمامی صفات بصری یک جسمه که اون رو از دیگه اشکال متمایز می‌کنه. شکل ها می‌تونن به صورت دو بعدی (مانند دایره، مثلث و مستطیل) یا سه بعدی (مانند مکعب، استوانه و مخروط) باشن.

شکل ها می‌تونن در طبیعت، آثار هنری، صنایع دستی و صنایع مختلف دیگه دیده بشن و با توجه به نوع و استفاده مورد نظر، فرمول های مختلفی برای محاسبه مساحت و حجم اون‌ها وجود داره.

مفهوم اشکال هندسی در هنرهای تجسمی

اشکال هندسی در هنرهای تجسمی یک مبحث مهمه که برای خلق اثرات و ترکیبات هندسی در آثار هنری استفاده میشه. هنرمندان از اشکال هندسی به عنوان ابزاری برای ایجاد نظم، تعادل، حرکت، ریتم و تنظیم در آثار تجسمی استفاده می‌کنن. این اشکال می‌تونن به صورت دو بعدی (مانند دایره، مثلث، مستطیل و…) یا سه بعدی (مانند مکعب، استوانه، مخروط و…) باشن.

یکی از نمونه های خوب استفاده از اشکال هندسی در هنرهای تجسمی، طراحی معماری و طرح های داخلیه. هنرمندان در این زمینه از اشکال هندسی به فراوانی استفاده می‌کنن تا طرح ها و الگوهای جذابی رو ایجاد کنن.

به طور کلی، استفاده از اشکال هندسی در هنرهای تجسمی یک ابزار قدرتمند برای خلق اثرات بصری زیبا و جذابه.

جمع‌بندی درباره فرمول حجم اشکال هندسی

در این مقاله به طور کلی درباره حجم انواع اشکال هندسی و محیط و مساحت شکل‌ها صحبت کردیم. همانطور که می‌دونین اشکال هندسی بخش مهمی از دنیای ریاضیات هستن. اگه این مبحث رو خیلی خوب یاد بگیرین، صد زدن ریاضی کنکور براتون خیلی راحت‌تر میشه. ما در این مقاله تمام نکات مربوط به اشکال هندسی رو به صورت دقیق بررسی کردیم.

برای دریافت تدریس و آموزش ویدئویی این مباحث می‌تونین اپلیکیشن فاب رو از صفحه اصلی سایت دانلود و نصب کرده و به تمام محتوا‌های آموزشی دسترسی داشته باشین. برای ارتباط بیشتر با ما می‌تونین نظرات و سوالات خودتون رو در قسمت نظرات با ما به اشتراک بذارین.