یکی از مفاهیم خیلی کاربردی و مهم در ریاضی، انتگراله که به ما کمک می‌کنه مساحت، طول، حجم و بقیه مقادیر ریاضی رو به وسیله توابع حساب کنیم. انتگرالگیری یک عملیه که با استفاده از اون میتونیم انتگرال یک تابع رو پیدا کنیم. برای انتگرالگیری از توابع مختلف، نیازه که از فرمول‌ها و قوانین مخصوص اون‌ها استفاده کنیم.
ما توی این مقاله از فاب، آموزش انواع انتگرال رو در اختیارتون می‌ذاریم و فرمولهای انتگرالگیری رو بررسی میکنیم، پس با ما همراه باشین.
صفر تا صد انتگرال و انتگرالگیری
یکی از مفاهیم پیچیده و سخت ولی کاربردی و مهم توی ریاضی، همین انتگراله و همونجوری که گفته شد به ما کمک می‌کنه که خیلی از مقادیر مفاهیم ریاضی رو به دست بیاریم.
عکس‌العمل انتگرال، مشتقه. درسته که این دوتا عکس همدیگه‌ان ولی در کل، انتگرالگیری و مشتق گیری به هم ربط دارن.
اگه بخوایم با یک مثال ساده این دو تا رو با هم مقایسه کنیم میتونیم بگیم که مشتق گیری مثل این می‌مونه که بخوایم ببینیم در لحظه چقدر آب از یک شیر آب می‌ریزه و انتگرالگیری هم مثل این می‌مونه که بخوایم ببینیم کل آبی که از شیر آب ریخته شده چقدره.
کاربردهای انتگرال
عمل انتگرالگیری کاربردهای زیادی در زمینه‌های مختلفی از فیزیک گرفته تا مهندسی و آمار و اقتصاد. به وسیله انتگرال میتونیم خیلی از مسائل پیچیده رو حل کنیم.
- مثلا میتونیم با استفاده از انتگرال بفهمیم که یک ماشینی که با سرعت‌های متفاوتی حرکت می‌کنه توی یک مدت زمان خاص، چقدر فاصله رو طی کرده.
- یا مثلا انتگرال می‌تونه به ما بگه یک موشکی که با شتاب‌های مختلف پرواز می‌کنه توی یک زمان مشخص، چقدر ارتفاع گرفته.
- یک کاربرد دیگه انتگرال توی اینه که ببینیم یک تابع احتمال چجوری توزیع شده و چقدر احتمال داره که یک رویداد اتفاق بیوفته.
- پزشکان با استفاده از انتگرال می‌تونن بفهمن که سرعت رشد تومورهای بدن چقدره.
- اقتصاددانان هم از انتگرال استفاده می‌کنن تا سود و درآمد رو به حداکثر برسونن.
قالب اصلی انتگرال
انتگرال یک عملیات ریاضیه که به ما اجازه میده مساحت زیر نمودار یک تابع رو حساب کنیم. انتگرال یک تابع رو میتونیم با نماد زیر نشون بدیم: F(x) dx∫
اگه بخوایم قالب کلی یک معادله انتگرال رو نشون بدیم میتونیم به این مورد اشاره کنیم:
که اینجا، 2x تابع ماست و dx عرض هر مستطیل رو نشون میده. عدد c به عنوان ثابت انتگراله که جوابمون رو با اون جمع میکنیم.
فرمولهای انتگرال
انتگرال دو نوعه: انتگرال معین و انتگرال نامعین. انتگرال نامعین، دنبال پیدا کردن یک تابعیه که مشتق اون برابر باشه با تابع داده شده. انتگرال معین، دنبال پیدا کردن مقدار عددی انتگرال توی یک بازه مشخصه.
برای حساب کردن انتگرال باید از فرمول‌ها و قوانین مختلفی استفاده کنیم که اون‌ها رو در ادامه بهتون میگیم:
فرمولهای انتگرال برای توابع کلی
این‌ها چند تا از فرمولهای انتگرال برای توابع کلی هستن:
فرمولهای انتگرالگیری از لگاریتم‌ها
انتگرالگیری از لگاریتم ینی محاسبه مساحت زیر منحنی تابع لگاریتمی. تابع لگاریتمی یک تابعه که نشون میده که برای رسیدن به یک عدد، چند بار باید یک عدد دیگه رو در خودش ضرب کنیم.
فرمولهای انتگرالگیری از توابع مثلثاتی
فرمولهای انتگرالگیری از توابع نمایی
فرمولهای انتگرالگیری از توابع گویا
فرمولهای انتگرالگیری از توابع غیر گویا
فرمولهای انتگرالگیری برای توابع هیپربولیکی
توابع هیپربولیکی، توابعی هستن که شبیه به توابع مثلثاتی‌اند ولی با تفاوت این که بر اساس توابع نمایی تعریف میشن. این توابع در مدل‌سازی بعضی از پدیده‌های فیزیکی، مهندسی و ریاضیاتی کاربرد دارن.
فرمولهای انتگرالگیری برای توابع معکوس هیپربولیکی
انتگرال معین
انتگرال معین یعنی یک روش برای پیدا کردن مساحت زیر یک خط کج. برای مثال، فرض کنین یک تابع داریم که به شکل یک خمیدگی روی نمودار میره. حالا میخوایم ببینیم که اگه این خط رو از یک نقطه تا یک نقطه دیگه بکشیم، مساحت زیرش چقدر میشه. برای این کار، میتونیم از انتگرال معین استفاده کنیم.
ولی چطوری میشه مساحت زیر یک خط کج رو پیدا کرد؟ یک راه ساده اینه که اون خط رو به چند قسمت کوچیک تقسیم کنیم و هر قسمت رو به شکل یک مستطیل در نظر بگیریم. بعد مساحت همه این مستطیل‌ها رو با هم جمع کنیم. اینجوری یک تخمین از مساحت زیر خط می‌گیریم. اما این تخمین دقیق نیست، چون ممکنه بعضی از مستطیل‌ها بیشتر از خط باشن و بعضی کمتر.
پس برای دقیق‌تر کردن تخمین، میتونیم تعداد مستطیل‌ها رو زیاد کنیم و عرضشون رو کوچیک کنیم. اینجوری مستطیل‌ها به شکل خط نزدیک‌تر میشن و مساحت‌شون هم دقیق‌تر میشه.
اما چطوری میشه تعداد بینهایت مستطیل رو جمع کنیم؟ اینجاست که انتگرال معین به کمک ما میاد. انتگرال معین یک فرمول ریاضیه که میگه اگه یک تابع داشته باشیم و بخوایم مساحت زیرش رو از یک نقطه تا یک نقطه دیگه بدونیم، باید یک تابع دیگه پیدا کنیم که مشتقش برابر با تابع اول باشه.
بعد از این تابع دوم، مقدارش رو در دو نقطه محاسبه کنیم و از هم کم کنیم. این عددی که بدست میاد، همون مساحت زیر خط اوله. این روش رو میتونیم با استفاده از قوانین و فرمولهای ریاضی انجام بدیم.
فرمولهای انتگرال معین
انتگرال نامعین
انتگرال نامعین یعنی یک روش برای پیدا کردن یک تابع که مشتقش برابر با یک تابع دیگه باشه. برای مثال، فرض کنین یک تابع داریم که به شکل یک خمیدگی روی نمودار میره. حالا میخوایم ببینیم که یک تابع دیگه چیه که اگه مشتقش رو بگیریم، به این تابع برسیم. برای این کار، میتونیم از انتگرال نامعین استفاده کنیم.
ولی چطوری میشه یک تابع رو پیدا کرد که مشتقش برابر با یک تابع دیگه باشه؟ یک راه ساده اینه که از فرمول‌هایی که قبلا یاد گرفتیم، استفاده کنیم.
برای مثال، می‌دونیم که مشتق تابع برابره با 2x ، پس اگه بخوایم برعکسش رو بدونیم، یعنی یک تابع که مشتقش برابر با 2x باشه، میتونیم بگیم که اون تابع هست ولی چون ممکنه یک تابع دیگه هم باشه که مشتقش برابر با 2x باشه.
برای مثال، تابع هم مشتقش برابر با 2x هست پس برای این که تمام توابعی که مشتقشون برابر با 2x هستن رو بگیریم، باید یک عدد ثابت به تابع اضافه کنیم. این عدد ثابت رو میتونیم با C نشون بدیم.
این عبارت رو میتونیم اینجوری بخونیم: انتگرال نامعین تابع 2x نسبت به x برابر است با تابع به اضافه یک عدد ثابت. این عدد ثابت رو میتونیم هر چیزی بذاریم، مثلا ۰، ۱، ۲، ۳ و غیره. اینجوری یک خانواده از توابع می‌گیریم که همشون مشتقشون برابر با 2x هستن.
روش‌های محاسبه انتگرال
برای اینکه بتونیم انتگرال رو محسابه کنیم چند تا روش وجود داره که بعضی از اون‌ها رو اینجا بهتون میگیم: روش تجزیه کسر، روش تکمیل مربع، روش‌های عددی، روش تقسیمات جزئی و ….
روش تجزیه کسر
این روش، برای انتگرالگیری از توابع کسری استفاده میشه که درجه صورت از درجه مخرج کمتر باشه.
توی این روش، اول باید کسر زیر انتگرال رو به کسرهای جزئی تفکیک کنیم و بعد، انتگرال هر کسر جزئی رو با استفاده از فرمول‌ها مربوط به اون، حساب کنیم.
روش تکمیل مربع
روش تکمیل مربع در انتگرال یک روشیه که برای محاسبه انتگرال توابعی که شامل عبارات درجه دو هستن، به کار میره. در این روش، اول باید عبارت درجه دو رو به صورت یک مربع کامل تبدیل کنیم و بعد از فرمولهای انتگرال توابع مثلثاتی یا لگاریتمی استفاده کنیم.
روش تقسیمات جزئی
برای انتگرالگیری از توابعی استفاده میشه که حاصل ضرب یک تابع مثلثاتی با یک تابع نمایی یا لگاریتمی باشن.
روش‌های عددی
برای انتگرالگیری از توابعی استفاده میشن که فرمول انتگرال اون‌ها مشخص نیست یا خیلی پیچیده‌ست.
جمع‌بندی فرمولهای انتگرالگیری و آموزش انواع انتگرال
ما توی این مقاله، فرمولهای انتگرالگیری رو به شما گفتیم، آموزش انواع انتگرال رو دادیم و در کل، انتگرالگیری رو بهتون یاد دادیم.
برای اینکه انتگرال و بقیه مباحث درسی مثل آمار و احتمال، مشتق‌گیری، مثلثات، زوایا، هندسه و عدد نپر رو کامل یاد بگیرین، اپلیکیشن فاب رو بهتون توصیه میکنیم تا با استفاده از ویدیوهای آموزشی اون، خیلی ارزون و آسون به مباحث درسی مسلط بشین و با کمکش تقویت درس ریاضی‌تون رو در اولویت قرار بدین.
